题目内容
已知函数f（x）=cos2x+
sinxcosx-
．
（1）求函数f（x）的最小正周期，单调递减区间和图象的对称轴方程；
（2）当x∈[-
，
]，求函数f（x）的值域；
（3）已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，若f（A-
）=1，BC=
，sinB=
，求AC的长．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）求函数f（x）的最小正周期，单调递减区间和图象的对称轴方程；
（2）当x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
（3）已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，若f（A-
| π |
| 6 |
| 7 |
| ||
| 7 |
考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,余弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+
），可得函数的周期．令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．令2x+
=kπ+
，求得x的解析式，可得函数图象的对称轴方程．
（2）当x∈[-
，
]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．
（3）在锐角三角形ABC中，由f（A-
）=sin（2A-
）=1，求得A=
．再根据 BC=
，sinB=
，利用正弦定理求得AC的值．
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）当x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
（3）在锐角三角形ABC中，由f（A-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 7 |
| ||
| 7 |
解答：
解：（1）函数f（x）=cos2x+
sinxcosx-
=
+
sin2x-
=sin（2x+
），
故函数的周期为
=π．
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z，故函数的增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
令2x+
=kπ+
，求得 x=
+
，可得函数图象的对称轴方程为x=
+
，k∈z．
（2）当x∈[-
，
]，2x+
∈[-
，
]，∴sin（2x+
）∈[-
，1]，即函数f（x）的值域为[-
，1]．
（3）已知锐角三角形ABC中，f（A-
）=sin（2A-
）=1，∴2A-
=
，∴A=
．
再根据 BC=
，sinB=
，利用正弦定理可得
=
，即
=
，∴AC=2．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1+cos2x |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
故函数的周期为
| 2π |
| 2 |
令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
令2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
（2）当x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（3）已知锐角三角形ABC中，f（A-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
再根据 BC=
| 7 |
| ||
| 7 |
| AC |
| sinB |
| BC |
| sinA |
| AC | ||||
|
| ||||
|
点评：本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性、单调性、对称性，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于基础题．
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