Question

已知函数f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[

π

4

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角的余弦公式结合辅助角公式，化简整理得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期与最值的结论，不难得到函数f（x）的最小正周期和最大值；
（II）由（I）得到的表达式，结合当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，再根据正弦函数的图象与性质的公式，即可得到函数的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵2cos²x-1=cos2x，f（x）=sin2x+2cos²x-1，
∴f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．…..（3分）
因此，函数的周期T=ω=

2π

2

=π．…..（5分）
又∵-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴-

2

≤f(x)≤

2

，当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ时，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）时，函数的最大值为

2

．
综上所述，函数f（x）的最小正周期是π；最大值是

2

．…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．
∵

π

4

≤x≤

3π

4

，得

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

．
∴-

2

≤

2

sin(2x+

π

4

)≤

2

×

2

2

=1
当2x+

π

4

=

3π

4

时，即x=

π

4

时，函数f（x）有最大值是1；
当2x+

π

4

=

3π

2

时，即x=

5π

8

时，函数f（x）有最小值是-

2

．
综上所述，函数f（x）在区间[

π

4

，

3π

4

]上的最大值是1，最小值是-

2

．…..（13分）

点评：本题结合辅助角公式和三角函数的降幂公式，将三角函数式化简并求函数的周期与最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质等知识，属于基础题．