Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、BB₁、CC₁的中点，AB=BC=AC=BB₁=2．
（1）求证：AC₁∥平面DEF；
（2）求二面角A-DE-F的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AB₁，由已知得EF∥B₁C₁，DE∥AB₁，从而AB₁∥平面DEF，同理B₁C₁∥平面DEF，由此能证明平面AB₁C₁∥平面DEF，从而AC₁∥平面DEF．
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-DE-F的余弦值．

解答： （1）证明：连结AB₁，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F分别为AB、BB₁、CC₁的中点，
∴EF∥B₁C₁，DE∥AB₁，
∵AB₁不包含于平面DEF，DE?平面DEF，
∴AB₁∥平面DEF，同理B₁C₁∥平面DEF，
∵AB₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，AB₁∩B₁C₁=B₁，
∴平面AB₁C₁∥平面DEF，
∵AC₁?平面AB₁C₁，∴AC₁∥平面DEF．
（2）解：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
A（0，0，0），B（

3

，1，0），C（0，2，0），
B1(

3

，1，2)，C₁（0，2，2），
∵D、E、F分别是AB、BB₁、CC₁的中点，
∴D（

3

2

，

1

2

，0），E（

3

，1，1），F（0，2，1），

DE

=（

3

2

，

1

2

，1），

EF

=（-

3

，1，0），
设平面DEF的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • DE = 3 2 x+ 1 2 y+z=0 n • EF =- 3 x+y=0

，
取x=1，得

n

=（1，

3

，-

3

），
又平面ADE的一个法向量为

CD

=(

3

2

，-

3

2

，0)，
设二面角A-DE-F的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

CD

＞|=

3

7 • 3

=

7

7

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．