Question

【题目】已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，E是中点，M是的中点，F是上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）直线与平面所成角的正切值为，当F是中点时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，推导出，，，由此能证明平面平面．

（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）连接，

底面为菱形，，是正三角形；

是中点，，

又，，

平面，平面，，

又，平面，

又平面，平面平面．

（2）由（1）得，，，两两垂直，

以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

平面，就是与平面所成的角，

在中，，即，

设，则，得，

又，设，则，

，从而，

则,

,，，，

设是平面的一个法向量，

则，取，得，

又平面，是平面的一个法向量，

设二面角的平面角为．

则．

二面角的余弦值为．