Question

【题目】已知函数，为自然对数的底数.

（1）若，，判断函数在上的单调性；

（2）令，，若，求证：方程无实根.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见证明

【解析】

（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）方程f（x）﹣m（x+1）lnx＝0，转化为x2ex﹣m（x+1）lnx＞x2（x+1）﹣m（x+1）lnx＝（x+1）（x2﹣mlnx），构造函数h（x）＝x2﹣mlnx，利用导数和函数的最值的关系即可证明．

（1）由已知，所以，

所以 ，

①若，在上恒有，

所以，所以在上为单调递减；

②若，图象与轴有两个不同交点，

设的两根分别为，.

（i）若，，，

所以当时，；当时，；当时，.

所以，此时在上和上分别单调递减；在上单调递增；

（ii）若，，.

所以，上总有；在当上，.

所以此时在上单调增，在上单调减.

综上：若，在上为单调递减；

若，在上和上分别单调递减；在上单调递增；

若，在上单调增，在上单调减.

（2）由题知，，所以，

令，

对任意实数，恒成立，

所以，即，

则 ，

令，

所以 ，

因为，所以 ，

所以时，，时，，

所以在上有最小值，

所以 ，

因为，所以，所以，

所以，即时，对任意，，

所以，

所以方程无实根.