Question

【题目】已知函数 ，且满足.

（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；

（2）设函数，求在区间上的最大值；

（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 时， . (3)

【解析】试题分析：（1）根据确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得，设,转化为方程方程在有两个不等的根，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m的取值范围.

试题解析：(1) 由，得或0.

因为，所以，所以.

当时， ，任取，且，

则 ，

因为，则， ，

所以在上为增函数；

（2），

当时， ，

因为，所以当时， ；

当时， ，

因为时，所以，所以当时， ；

综上，当即时， .

（3）由（1）可知， 在上为增函数,当时， .

同理可得在上为减函数，当时， .

方程可化为，

即.

设,方程可化为.

要使原方程有4个不同的正根，

则方程在有两个不等的根，

则有，解得，

所以实数m的取值范围为.