Question

8．直线y=kx+1（k∈R）与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有两个公共点，则m的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 分类讨论，根据椭圆焦点位置，由直线y=kx+1恒过点（0，1），要使直线与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有两个公共点，则只需（0，1）必在椭圆内部，即可求得m的取值范围．

解答 解：当椭圆的焦点在x轴上时，则0＜m＜5时，
直线y=kx+1恒过点（0，1），要使直线与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有两个公共点，
则（0，1）必在椭圆内部，即$\sqrt{m}$＞1，则m＞1，
当椭圆的焦点在y轴上，则m＞5，
直线y=kx+1恒过点（0，1），要使直线与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有两个公共点，
则（0，1）必在椭圆内部，显然成立，
则m＞5，
综上可知：m的取值范围：（1，5）∪（5，+∞），
故答案为：（1，5）∪（5，+∞）．

点评 本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于基础题．