题目内容
【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，
，
，
，
，平面
平面ABC．
（1）求证：
平面PBC；
（2）求二面角P-AC-B的余弦值；
（3）求直线BC与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析，（2）
，（3）
【解析】
（1）由面面垂直的性质定理可得
平面
，然后可得
，再结合条件
即可证明
（2）作
于点O，
于点M，连结
，可证明
，所以
是二面角P-AC-B的平面角，然后求出即可
（3）利用
求出点B到平面
的距离即可
（1）因为平面
平面ABC，平面
平面
，
平面
所以平面
因为
平面，所以
又因为，
所以
平面
（2）如图，作于点O，于点M，连结
因为平面平面ABC，平面平面
，
平面
所以
平面
根据三垂线定理得：
所以是二面角P-AC-B的平面角
设
，因为
所以
，
因为，
所以
，
所以
即二面角P-AC-B的余弦值为
（3）在（2）的前提下可得：
，
设点B到平面的距离为
因为
所以
所以
所以直线BC与平面PAC所成角的正弦值为
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