Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形，，，.

(1)求证：平面⊥平面；

(2)若点在平面内运动，且平面，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接，交于点，连接，先通过证明，得出平面，再根据面面垂直的判定定理由平面证明平面BED⊥平面即可；（2）取的中点，的中点，先通过平面//平面得出点在线段上，然后建立空间直角坐标系并设，从而求出平面的法向量及的坐标，设直线与平面所成的角为，则，最后根据即可求出的最大值.

(1)证明：如图，连接，交于点，连接，

因为，，，

所以，易得，

所以，

所以.

又，，所以⊥平面，

又平面，所以.

又底面是圆内接四边形，

因为，

在中，由，，可得，，

所以，，

易得与相似，所以，

即.

又、平面，，

所以平面，

又平面，所以平面BED⊥平面.

(2)解：如图，取的中点，的中点，连接，，，

则，由(1)知，，即，

所以为正三角形，所以，又，

所以平面//平面，

所以点在线段上.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，

，，

设平面的法向量，

则，即，

令，则，

设，可得

，

设直线与平面所成的角为，

则，

因为，所以当时，取得最大值.

故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.