Question

【题目】在的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；（4）奇数项的系数和为，偶数项的系数和为；（5）的奇次项系数和为，的偶次项系数和为

【解析】

设，各项系数和为，奇数项系数和为，偶数项系数和为，奇次项系数和为，偶次项系数和为，再利用二项式定理的概念和赋值法求出相关系数和即可.

设，

各项系数和为，

奇数项系数和为，偶数项系数和为，

的奇次项系数和为，的偶次项系数和为

（1）二项式系数的和为；

（2）令，，则，

所以各项系数和为1；

（3）奇数项的二项式系数和为，

偶数项的二项式系数和为；

（4）由（2）知，①，取，，

则②，

所以奇数项的系数和，

偶数项的系数和；

（5）由（4）知，的奇次项系数和为，

的偶次项系数和为.