Question

3．设命题p：实数a满足不等式3^a≤9，命题q：x²+3（3-a）x+9≥0的解集为R，已知“p∧q”为真命题，并记为条件r，且条件t：实数a满足a＜m或a＞m+$\frac{1}{2}$，若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．

Answer 1

分析 求出“p∧q”为真命题，实数a的取值范围，结合r是￢t的必要不充分条件，可得满足条件的正整数m的值．

解答 解：由3^a≤9，得a≤2，即p：a≤2．
∵x²+3（3-a）x+9≥0的解集为R，得△=9（3-a）²-4×9≤0，解得1≤a≤5，
即q：1≤a≤5．
∵“p∧q”为真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{1≤a≤5}\end{array}\right.$⇒1≤a≤2．
∵条件t：实数a满足a＜m或a＞m+$\frac{1}{2}$，若
从而?t：m≤a≤m+$\frac{1}{2}$．
∵r是?t的必要不充分条件，即?t是r的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m+\frac{1}{2}≤2}\end{array}\right.$，解得1≤m≤$\frac{3}{2}$，∵m∈N^*，∴m=1…（12分）

点评 题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，函数的极值，指数不等式的解法，二次不等式的解法，复合命题，难度中档．