Question

10．已知F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且△QF₁O（O为坐标原点）为正三角形，若射线QF₁，QO与椭圆分别相交于点P，R，则△QF₁O与△QPR的面积的比值为$\frac{\sqrt{3}+1}{8}$．

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），求得Q（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），可得R（$\frac{1}{2}$c，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），△QF₁F₂是直角三角形，运用椭圆的定义可得a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，b²=a²-c²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c²，求得椭圆的方程，将QF₁的方程y=$\sqrt{3}$（x+c），代入椭圆方程，解得Q，P的纵坐标，分别求得△QF₁O与△QPR的面积，即可得到所求比值．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），△QF₁O为正三角形，
可设Q（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），可得R（$\frac{1}{2}$c，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
由|OQ|=|OF₁|=|OF₂|=c，可得△QF₁F₂是直角三角形，
由椭圆的定义可得c+$\sqrt{3}$c=2a，
即有a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$c，b²=a²-c²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c²，
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}{c}^{2}}$=1，
由QF₁的方程y=$\sqrt{3}$（x+c），代入椭圆方程消x化简可得，
$\frac{6+4\sqrt{3}}{3}$y²-2cy-$\frac{3}{2}$c²=0，
解得y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c或y=-$\frac{3\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}$c，
则△QF₁O的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
△QPR的面积为2S_△QPO=2•$\frac{1}{2}$|OF₁|•|y_Q-y_P|
=c|$\frac{\sqrt{3}}{2}$c+$\frac{3\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}$c|=（3-$\sqrt{3}$）c²，
即有△QF₁O与△QPR的面积的比值为$\frac{\sqrt{3}+1}{8}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}+1}{8}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及椭圆的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．