Question

6．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为2，抛物线E：x²=2y的准线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点且与抛物线E在第一象限相切于点P，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M，求$\frac{{S}_{△PFG}}{|OG|}$的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的长轴和抛物线的准线，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），运用导数求得切线的斜率和方程，令x=0，可得点G的坐标，S_△PFG=$\frac{1}{2}$|FG|•|x₀|=$\frac{1}{2}$x₀•（$\frac{1}{2}$+y₀）=$\frac{1}{4}$x₀（1+x₀²）；$\frac{{S}_{△PFG}}{|OG|}$=$\frac{1}{2}\frac{1+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{{x}_{0}}+{x}_{0}）$即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知2a=2，b=$\frac{1}{2}$，∴椭圆C的方程为：x²+4y²=1．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），（x₀＞0）可得${{x}_{0}}^{2}=2{y}_{0}$，由y=$\frac{1}{2}$x²的导数为y′=x，即有切线的斜率为x₀，
则切线的方程为y-y₀=x₀（x-x₀），
直线l的方程为y=x₀x-y₀，令x=0，可得G（0，-y₀），
则S_△PFG=$\frac{1}{2}$|FG|•|x₀|=$\frac{1}{2}$x₀•（$\frac{1}{2}$+y₀）=$\frac{1}{4}$x₀（1+x₀²）；
∵|OG|=y₀$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，∴$\frac{{S}_{△PFG}}{|OG|}$=$\frac{1}{2}\frac{1+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{{x}_{0}}+{x}_{0}）$≥1，
当且仅当x₀=1时，即P（1，$\frac{1}{2}$）时，$\frac{{S}_{△PFG}}{|OG|}$有最小值1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查抛物线的切线，及三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于中档题题．