Question

已知向量

a

、

b

的夹角为60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，设

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

（1）若

m

⊥

n

，求实数t的值；
（2）当t=2时，求

m

与

n

的夹角．

Answer 1

分析：（1）由题，由

m

⊥

n

可得

m

•

n

=0，代入已知条件，即可得到关于t的方程，解此方程即可求出t的值；
（2）将t=2代入，得

n

=2

a

+2

b

，可先计算出

m

•

n

与两向量的模，代入公式cos＜

m

，

n

＞=

m •  n

| m || n |

即可求得两向量夹角的余弦，再由反三角函数表示出角即可

解答：解：（1）由题意向量

a

、

b

的夹角为60°，且|

a

|=1，|

b

|=2，设

m

=3

a

-

b

，

n

=t

a

+2

b

∵

m

⊥

n

∴

m

•

n

=0
∴(3

a

-

b

)•(t

a

+2

b

)=0，即3t-8+2（6-t）cos60°=0，解得t=-3
（2）当t=2时，

n

=2

a

+2

b

∴

m

•

n

=(3

a

-

b

)•(2

a

+2

b

)=6-8+4=2
|

m

|=|

m

|=

(3 a - b )2

=

9+4-6

=

7

，|

n

|=

(2 a +2 b )2

=

4+16+8

=2

7

∴cos＜

m

，

n

＞=

m •  n

| m || n |

=

2

7 ×2 7

=

1

7

∴

m

与

n

的夹角为arccos

1

7

点评：本题考察了数量积表示的两向量垂直的条件，两向量夹角的数量积表示及数量积的运算，求向量的模，解题的关键是熟练掌握向量垂直的条件与向量夹角的表示，本题涉及到向量中的多个知识点，知识覆盖面广，属于向量在的中档题，考察了方程的思想，转化的思想