Question

19．设函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax是定义在[0，+∞）上的单调减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a，
若函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax是定义在[0，+∞）上的单调减函数，
即当x≥0时，f′（x）=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a≤0恒成立，
即a≥$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
∵当x≥0，$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≤$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
即实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．