题目内容

8.若二次函数y=f(x)(x∈R)的最大值为5,且f(3)=f(-1)=1.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程x2-mf′(x)+4m+1=0(f′(x)为函数y=f(x)的导数)其中一根在(-∞,0)内,另一根在(1,2)内,求实数m的取值范围.

分析 (1)根据f(3)=f(-1)可得函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,结合函数y=f(x)(x∈R)的最大值为5,设出函数的顶点式,代入(3,1)点可得答案;
(2)若x2-mf′(x)+4m+1=0其中一根在(-∞,0)内,另一根在(1,2)内,则x2+2mx+2m+1=0其中一根在(-∞,0)内,另一根在(1,2)内,构造函数g(x)=x2+2mx+2m+1,则$\left\{\begin{array}{l}g(0)<0\\ g(1)<0\\ g(2)>0\end{array}\right.$,解得答案.

解答 解:(1)∵f(3)=f(-1)=1.
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
又由函数y=f(x)(x∈R)的最大值为5,
可设函数y=f(x)=a(x-1)2+5,
将(3,1)代入得:a=-1,
∴f(x)=-(x-1)2+5=-x2+2x+4,
(2)由(1)得:f′(x)=-2x+2,
若x2-mf′(x)+4m+1=0其中一根在(-∞,0)内,另一根在(1,2)内,
则x2+2mx+2m+1=0其中一根在(-∞,0)内,另一根在(1,2)内,
令g(x)=x2+2mx+2m+1,
则$\left\{\begin{array}{l}g(0)<0\\ g(1)<0\\ g(2)>0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}2m+1<0\\ 4m+2<0\\ 6m+5>0\end{array}\right.$,
解得:m∈(-$\frac{5}{6}$,-$\frac{1}{2}$)

点评 本题考查的知识点是二次函数,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.

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