Question

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足

   （Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；

   （Ⅱ）求的值；

   （Ⅲ）已知A(1，cosx)、B(1+cosx，cosx)，x∈，f (x)= 的最小值为，求实数m的值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，即，

∴∥. 又∵、有公共点A，∴A、B、C三点共线.    ……………3分

（Ⅱ）∵，∴=，         

   ∴，∴                                   ……………8分

   （Ⅲ）∵C为的定比分点，=2，∴，=(cosx，0)，

   ∴f(x)=

=(cosx-m)²+1-m².                                     ……………10分

   ∵x∈，∴cosx∈［0，1］.

当m<1时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值1与已知相矛盾；

当0≤m≤1时, 当且仅当cosx=m时, f(x)取得最小值1-m²，由1-m²=得m=±(舍去)；

当m>1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值2-2m，由2-2m=得m=.

综上所述，m=为所求.                                          ……………14分