Question

【题目】已知函数

（1）当时，试讨论的单调性；

（2）对任意时，都有成立，试求k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).

【解析】

(1)对求导后,分,和三种情况,讨论的正负,进而得出单调性;

(2)不等式恒成立恒成立,因此利用研究出时的单调性,进而求出其最大值,即可得出结论.

(1),

则.

由,得或.

①当时,,

则时,,时,,

因此在和上单调递减,在上单调递增;

②当时,(当且仅当时,),

因此在上单调递减;

③当时,,

则时,,时,,

因此函数在和上单调递减,在上单调递增.

综上所述:当时,函数在和上单调递减,在上单调递增;

当时,函数在上单调递减;

当时,函数在和上单调递减,在上单调递增.

(2)由(1)可知,

当时,,

则时,,时,,

因此在和上单调递增,在上单调递减.

故,,

因为时,,

因此.

又不等式恒成立恒成立,

而对任意,,

故k的取值范围为.