Question

【题目】对任意任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

将不等式﹣2cos2x≥asinx﹣恒成立转化为≥asinx+2﹣2sin2x恒成立，构造函数f（y）=，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx+2﹣2sin2x≤3恒成立．通过对sinx＞0、sinx=0分类讨论求得实数a的取值范围．

任意x∈[0，]，y∈（0，+∞），

不等式﹣2cos2x≥asinx﹣恒成立≥asinx+2﹣2sin2x恒成立，

令f（y）=，

则asinx+2﹣2sin2x≤f（y）min，

∵y＞0，∴f（y）=≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3．

∴asinx+2﹣2sin2x≤3，即asinx﹣2sin2x≤1恒成立．

∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，]，

当sinx=0时，对于任意实数a，不等式asinx﹣2sin2x≤1恒成立；

当sinx＞0时，不等式asinx﹣2sin2x≤1化为a≤2sinx+恒成立，

令sinx=t，则0＜t≤，

再令g（t）=2t+（0＜t≤），则a≤g（t）min．

由于g′（t）=2﹣＜0，

∴g（t）=2t+在区间（0，]上单调递减，

因此，g（t）min=g（）=3，

∴a≤3．

综上，a≤3．

故选：A．