题目内容
【题目】已知椭圆C的标准方程为:,该椭圆经过点P(1,
),且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆长轴上一点S(1,0)作两条互相垂直的弦AB、CD.若弦AB、CD的中点分别为M、N,证明:直线MN恒过定点.
【答案】(1)(2)
【解析】
(Ⅰ)由已知条件推导出,e=
,由此能求出椭圆方程.
(Ⅱ)设直线AB的方程为x=my+s,m≠0,则直线CD的方程为x=﹣,联立
,得M(
),将M的坐标中的m用﹣
代换,得CD的中点N(
),从而得到直线MN的方程为x﹣
y=
,由此能证明直线MN经过定点(
).
(Ⅰ)解:∵点P(1,)在椭圆上,∴
,又∵离心率为
,∴e=
,∴a=2c,∴4a2﹣4b2=a2,解得a2=4,b2=3,
∴椭圆方程为.
(Ⅱ)证明:设直线AB的方程为x=my+s,m≠0,则直线CD的方程为x=﹣,联立
,得(3m2+4)y2+6smy+3s2﹣12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,
,∴x1+x2=(my1+s)(my2+s)=m2y1y2+ms(y1+y2)+s2=
,
由中点坐标公式得M(,﹣
),将M的坐标中的m用﹣
代换,得CD的中点N(
,
)
∴直线MN的方程为x﹣y=
,m≠±1,令y=0得:x=
,∴直线MN经过定点(
),
当m=0,±1时,直线MN也经过定点(),综上所述,直线MN经过定点(
).
当时,过定点
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