Question

(本小题12分) 将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线、抛物线的焦点是直线y＝x－1与x轴的交点.
(1)求，的标准方程；
(2)请问是否存在直线满足条件：① 过的焦点;②与交于不同两
点,,且满足？若存在，求出直线的方程; 若不存在,说明
理由．

Answer 1

(1) 的方程为：， 的方程为：。
（2）或．

试题分析：（1）设点, 点M的坐标为,由题意可知得到关系式。
（2）假设存在这样的直线，设其方程为，联立方程组，结合韦达定理和向量数量积得到。
解：(1)设点, 点M的坐标为,由题意可知
又∴.
所以, 的方程为的方程为：．
综上，的方程为：， 的方程为：。
（2）假设存在这样的直线，设其方程为，两交点坐标为，
由消去，得，
①

，②
，③
将①②代入③得，解得
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为或．
点评：解决该试题的关键是能利用图像变换准确得到曲线的方程然后利用向量的数量积来求解得到参数的值。