Question

14．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，用定义探讨函数f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性并求f（x）最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用单调性的定义，注意作差和变形、定符号和下结论，再由单调性，即可得到最小值；
（2）由题意可得，-a＜x²+2x的最小值，由x²+2x在[1，+∞）上为增函数，即可得到最小值，进而得到a的范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x+$\frac{1}{2x}$+2，
令1≤m＜n，则f（m）-f（n）=m+2+$\frac{1}{2m}$-（n+2+$\frac{1}{2n}$）
=（m-n）（1-$\frac{1}{2mn}$），由1≤m＜n，可得m-n＜0，mn＞1，
即有f（m）-f（n）＜0，
则f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，f（x）最小值为f（1）=$\frac{7}{2}$；
（2）对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即为-a＜x²+2x的最小值，
由x²+2x=（x+1）²-1在[1，+∞）上为增函数，最小值为3，
即有-a＜3，解得a＞-3．
则有a的范围是（-3，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用：求最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离，属于中档题．