题目内容

△ABC三边长分别为a,b,c且它们互不相等,面积S=,外接圆半径r=1,求证: ++＞

证明:假设++≤.①

则由S=absinC,

得=ab·abc=1.

∴①式bc+ac+ab≤.②

∵bc+ca≥,

ca+ab≥,

ab+bc≥,

三式相加得

bc+ca+ab≥,

取等号的条件bc=ca,ca=ab,ab=bc同时成立,即a=b=c,与a,b,c不等矛盾,故“=”不成立,即bc+ca+ab＞,这与②相矛盾.

∴原不等式成立.

练习册系列答案
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精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求证SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式r=
2S
l
（其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：
①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教网C．
②设△ABC三边长分别为a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，则r=
2S
l
．
类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥S-ABC内切球的半径．
已知锐角三角形ABC三边长分别为1、2、a（其中a∈R+），则实数a的取值范围为：
 
．
已知△ABC三边长分别为1、2、a（其中a∈R+），“△ABC为锐角三角形”的充要条件是：“a∈
 
”．
在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则
a
sinA
+
b
2sinB
+
2c
sinC
=
7
7
．
已知三棱锥P-ABC中各侧面与底面所成的二面角都是60°，且三角形ABC三边长分别为7、8、9，则此三棱锥的侧面积为（　　）

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