Question

已知锐角三角形ABC三边长分别为1、2、a（其中a∈R⁺），则实数a的取值范围为：

 

．

Answer 1

分析：由已知中△ABC三边长分别为1、2、a，我们易根据余弦定理的推论得到△ABC为锐角三角形时，由两边长1和2求出a的范围，但2与a边均有可能为最大边，故要分类讨论．

解答：解：∵△ABC三边长分别为1、2、a，
又∵△ABC为锐角三角形，
当2为最大边时，设2所对的角为α，
则根据余弦定理得：cosα=

a2+1-22

2a

＞0，
∵a＞0，∴a²-3＞0，解得a＞

3

；
当a为最大边时，设a所对的角为β，
则根据余弦定理得：cosβ=

1+4-a2

4

＞0，
∴5-a²＞0，解得：0＜a＜

5

，
综上，实数a的取值范围为(

3

，

5

)．
故答案为：(

3

，

5

)

点评：本题考查了三角形的形状判断，以及余弦定理的应用，利用了分类讨论的思想．解答本题的关键是利用余弦定理推论出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围．