Question

【题目】已知函数.

当时，恒成立，求的值；

若恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出a的值即可；

（2）把f（x）≤0恒成立，转化为lnx≤ax+b恒成立，当a≤0时显然不满足题意；当a＞0时，要使lnx≤ax+b对任意x＞0恒成立，需要直线y＝ax+b与曲线y＝lnx相切，设出切点坐标，把a，b用切点横坐标表示，得到a+blnx0﹣1（x0＞0），构造函数g（x）lnx﹣1，利用导数求其最小值得答案．

解：（1）由，得，则.

∴.

若，则，在上递增.

又，∴.当时，不符合题意.

② 若，则当时，，递增；当时，，递减.

∴当时，.

欲使恒成立，则需

记，则.

∴当时，，递减；当时，，递增.

∴当时，

综上所述，满足题意的.

（2）由（1）知，欲使恒成立，则.

而恒成立恒成立函数的图象不在函数图象的上方，

又需使得的值最小，则需使直线与曲线的图象相切.

设切点为，则切线方程为，即..

∴ .

令，则.

∴当时，，递减；当时，，递增.

∴.

故的最小值为0.