Question

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（m，0）（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且

MP

=λ

PN

，问在x轴上是否存在定点G，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设双曲线E的方程，利用BD=3DC，△ABC的周长为12，建立方程，即可求得双曲线的方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在x轴上存在定点G（t，0），再利用根与系数的关系，求出t的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）设双曲线E的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)，则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴

|AB|2-|AC|2=16a2 |AB|+|AC|=12-4a |AB|-|AC|=2a.

，解之得a=1，∴c=2，  b=

3

．
∴双曲线E的方程为x2-

y2

3

=1．
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．
设直线l的方程为x-m=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

MP

=λ

PN

，得y₁+λy₂=0．
即λ=-

y1

y2

①
∵

BC

=（4，0），

GM

-λ

GN

=（x₁-t-λx₂+λt，y₁-λy₂）
∴x₁-t-λx₂+λt=0
∴x₁-t=λ（x₂-t）
即ky₁+m-t=λ（ky₂+m-t）②
①代入②得2ky₁y₂+（m-t）（y₁+y₂）=0③
把x=m+ky代入双曲线，消去x可得（3k²-1）y²+6kmy+3（m²-1）=0
∴y₁+y₂=

-6km

3k2-1

，y₁y₂=

3(m2-1)

3k2-1

代入③可得

6k(m2-1)

3k2-1

-

-6km(m-t)

3k2-1

=0
化简可得kmt=k
当t=

1

m

时，上式恒成立
因此，在x轴上存在定点G（

1

m

，0），使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量的运算、双曲线方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．