Question

15．若直线y=kx+b是曲线y=e^x+2的切线，也是曲线y=e^x+1的切线，则b=4-2ln2．

Answer 1

分析 设直线y=kx+b与y=e^x+2和y=e^x+1的切点分别为$（{x_1}，\;\;{e^{x_1}}+2）$和$（{x_2}，\;\;{e^{{x_2}+1}}）$，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．

解答 解：设直线y=kx+b与y=e^x+2和y=e^x+1的切点分别为$（{x_1}，\;\;{e^{x_1}}+2）$和$（{x_2}，\;\;{e^{{x_2}+1}}）$，
则切线分别为$y-（{e^{x_1}}+2）={e^{x_1}}（x-{x_1}）$，$y-{e^{{x_2}+1}}={e^{{x_2}+1}}（x-{x_2}）$，
化简得：$y={e^{x_1}}x+{e^{x_1}}+2-{x_1}{e^{x_1}}$，$y={e^{{x_2}+1}}x+{e^{{x_2}+1}}-{x_2}{e^{{x_2}+1}}$，
依题意有：$\left\{\begin{array}{l}{e^{x_1}}={e^{{x_2}+1}}\\{e^{x_1}}+2-{x_1}{e^{x_1}}={e^{{x_2}+1}}-{x_2}{e^{{x_2}+1}}\end{array}\right.⇒{x_1}=ln2$，
所以$b={e^{x_1}}+2-{x_1}{e^{x_1}}=4-2ln2$．
故答案为：4-2ln2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．