Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k﹣1，a_2k是关于x的方程x²﹣（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k﹣1≤a_2k（k=1，2，3，…）．

（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；

（II）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；

（Ⅲ）记，，求证：．

Answer 1

解：（I）解：方程x²﹣（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根为x₁=3k，x₂=2^k，

当k=1时，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；

当k=2时，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；

当k=3时，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8时；

当k=4时，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12．

（II）解：S_2n=a₁+a₂++a_2n=（3+6++3n）+（2+2²++2ⁿ）=．

（III）证明：，

所以，．当n≥3时，，=，

同时，=．

综上，当n∈N*时，．