Question

3．设S_n是公比q（q＞0），首项为1的等比数列前n项和，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 讨论q=1，0＜q＜1，q＞1，运用等比数列的求和公式，结合数列极限的公式，计算即可得到所求值．

解答 解：若q=1，则a_n=a₁=1，S_n=n，
即有$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{n+1}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$
=$\frac{1}{1+0}$=1；
若q≠1，则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，
即有$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-{q}^{n}}{1-{q}^{n+1}}$，
当0＜q＜1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1-0}{1-0}$=1；
当q＞1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{{q}^{n}}-1}{\frac{1}{{q}^{n}}-q}$=$\frac{0-1}{0-q}$=$\frac{1}{q}$．
综上可得0＜q≤1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=1；
q＞1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{q}$．

点评 本题考查数列极限的求法，注意运用等比数列的求和公式，同时考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．