题目内容

13．已知|z|=1，设复数u=z2-2，求|u|的最大值与最小值．

分析 设z=x+yi（x，y∈R），且x2+y2=1．把z代入u=z2-2，求模后用x替换y，配方后求得函数最值．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），且x2+y2=1．
∴u=z2-2=（x+yi）2-2=（x2-y2-2）+2xyi，
则|u|=$\sqrt{（{x}^{2}-{y}^{2}-2）^{2}+（2xy）^{2}}$
=$\sqrt{（2{x}^{2}-3）^{2}+4{x}^{2}（1-{x}^{2}）}$=$\sqrt{9-8{x}^{2}}$（-1≤x≤1）．
∴当x=0，即z=±i时，|u|max=3；
当x=±1，即z=±1时，|u|min=1．

点评 本题考查复数模的求法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．

练习册系列答案
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