Question

14．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ-2=0．
（Ⅰ）写出C的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设l与C的交点为P₁，P₂，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （I）由曲线C的方程可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得交点坐标，可得线段P₁P₂的中点M．垂直于l的直线斜率为$\frac{1}{2}$，利用点斜式即可得出直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．

解答 解：（I）曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ-2=0，化为直角坐标方程：2x+y-2=-0．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$．
可得线段P₁P₂的中点M$（\frac{1}{2}，1）$．
垂直于l的直线斜率为$\frac{1}{2}$，
故所求的直线方程为：y-1=$\frac{1}{2}$$（x-\frac{1}{2}）$，化为2x-4y+3=0．
化为极坐标方程：2ρcosθ-4ρsinθ+3=0．

点评 本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中点题．