题目内容

19．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1=2，点E、F分别为棱B1C1、C1C的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF，则当点P运动时，HP2的最小值是（　　）
A．10B．27-6$\sqrt{2}$C．2$\sqrt{21}$D．108-24$\sqrt{2}$

分析 根据题意，画出图形，结合图形，知GP最小时，HP取得最小值，求出此时GP的值即可．

解答 解：如图所示．以EF为直径在平面BCC1B1内做圆，该圆的半径为r=$\frac{1}{2}$|EF|=$2\sqrt{2}$，
再过H引BB1的垂线，垂足为G，连接GP，
则HP2=HG2+GP2，其中HG为棱长8，
因此当GP∥B1C1时，OG=6，此时GP取得最小值为6-$2\sqrt{2}$，从而HP取得最小值；
∴HP2=$（6-2\sqrt{2}）^{2}$+82=36-24$\sqrt{2}$+8+64=108-$24\sqrt{2}$；
即HP2的最小值为108-$24\sqrt{2}$；
故选：D．

点评 本题考查了空间位置关系与距离的求法问题，解题的关键是得出GP最小值，是易错题目，属于中档题．

练习册系列答案
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（2）写出第二次移动后这个点在数轴上表示的数；
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（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围．

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