Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}kx+2，x≤0\\-lnx，x＞0\end{array}$，则下列关于y=f[f（x）]-2的零点个数判别正确的是（　　）

• A． 当k=0时，有无数个零点
• B． 当k＜0时，有3个零点
• C． 当k＞0时，有3个零点
• D． 无论k取何值，都有4个零点

Answer 1

分析 因为函数f（x）为分段函数，函数y=f[f（x）]-2为复合函数，故需要分类讨论，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：A．当k=0时，函数f（x）对应的图象如图：
当t≤0时，由f（t）=2得2=2此时方程恒成立了，即y=f[f（x）]-2有无数个零点，故A正确，D错误．
B．当k＜0时，对应的图象如图：
当t＞0时，由f（t）=2，此时-lnt=2，得t=e^-2∈（0，1），
当t≤0时，由f（t）=2得t=0，
由t=f（x）=e^-2∈（0，1），此时x有一个解，
由t=f（x）=0，此时x有一个解，
综上y=f[f（x）]-2的零点个数为2个，故B错误，
C．当k＞0时，对应的图象如图：
当t＞0时，由f（t）=2，此时-lnt=2，得t=e^-2∈（0，1），
当t≤0时，由f（t）=2得t=0，
由t=f（x）=e^-2∈（0，1），此时x有2个解，
由t=f（x）=0，此时x有2个解，
综上y=f[f（x）]-2的零点个数为4个，故C错误，
故选：A．

点评 本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是利用数形结合以及分类讨论确定函数y=f（f（x））-2的图象，利用数形结合法是解决本题的关键．