Question

（2010•武清区一模）如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、
F₂（1，0），M、N是直线x=a²上的两个动点，且

F1M

•

F2N

=0．
（1）设曲线C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）若以MN为直径的圆中，最小圆的半径为2

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设出M，N的坐标，利用

F1M

•

F2N

=0建立等式，然后利用|OC|与圆的半径进行比较，从而可判定原点O与圆C的位置关系；
（2）先表示出半径，然后消去一变量，利用基本不等式求出最值，根据最值建立等式可求出a的值，从而求出椭圆的方程．

解答：解：（1）设M（a²，y₁）、N（a²，y₂），
则

F1M

=（1+a²，y₁），

F2N

=（a²-1，y₂），
∵

F1M

•

F2N

=0∴（1+a²，y₁）（a²-1，y₂）=0，
∴y₁y₂+a⁴=1  …3分
圆心C（a²，

y1+y2

2

），半径r=

|y1-y2|

2

…5分
∴|OC|²=a⁴+

(y1+y2)2

4

，r2=

(y1-y2)2

4

∴|OC|²-r²=y₁y₂+a⁴=1＞0…6分
∴|OC|＞r∴原点O在圆C外  …7分
（2）∵y₁y₂+a⁴=1∴y2=

1-a4

y1

∴r=

1

2

|y1-y2|=

1

2

|y1-

1-a4

y1

|=

1

2

|y1+

a4-1

y1

|…9分
∵c=1∴a＞1∴a⁴＞1∴a⁴-1＞0 …10分
∴r=

1

2

(|y1|+

a4-1

|y1|

)≥

a4-1

当且仅当

y

2 1

=a4-1时等号成立  …12分
∴

a4-1

=2

2

∴a²=3  …13分
∵c=1∴b²=2
∴所求椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1…14分．

点评：本题主要考查了点与圆的位置关系，以及圆锥曲线的综合应用和不等式求最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．