Question

已知函数f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）因为对任意的x∈[1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，所以函数f（x）＞0对x≥1恒成立，转化为f（x）_min＞0，借助（Ⅰ）问结论可求．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=4x-4+lnx（4x-4）=4（x-1）（lnx+1），（x＞0）．
f′（x）＞0，则x＞1或0＜x＜

1

e

；f′（x）＜0，则

1

e

＜x＜1，
所以f（x）的单调递增区间是（0，

1

e

），（1，+∞）；单调递减区间是（

1

e

，1），
所以x=

1

e

时，函数取得极大值为-

1

e2

+

4

e

，x=1时，函数取得极小值为1．
（Ⅱ）因为对任意的x∈[1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，所以函数f（x）＞0对x≥1恒成立，
f′（x）=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．
可得当0＜a≤

1

e

时，f（x）在，[1，+∞）上单调递增，则f（x）_min=f（1）＞0，成立，故0＜a≤

1

e

．
当

1

e

＜a≤1，则f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．
当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，则
f（x）_min=f（a）＞0，即（2a²-4a²）lna+a²＞0，1＜a＜

e

．
综上所述，0＜a＜

e

．

点评：本题考查应用导数研究函数单调性、最值问题，导数是研究函数单调性、最值问题的有力工具．