Question

将边长为1m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=

(梯形的周长)2

梯形的面积

，则s的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,应用题

分析：先设剪成的小正三角形的边长为x，用x表示出梯形的周长和面积，从而得到S的解析式，然后求S的最小值，
方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；
方法二：令3-x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．

解答： 解：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3-x，
梯形的面积为

3

4

(1-x2)，
∴s=

(3-x)2

3 4 (1-x2)

（0＜x＜1），
（方法一）利用函数的导数求函数的最小值．
令s（x）=

(3-x)2

3 4 (1-x2)

（0＜x＜1），则
s'（x）=

4

3

•

(2x-6)•(1-x2)-(3-x2)•(-2x)

(1-x2)2

=

4

3

•

-2(3x-1)(x-3)

(1-x2)2

，
令s'（x）=0，∵0＜x＜1，∴x=

1

3

，
当0＜x＜

1

3

时，s'（x）＜0，当

1

3

＜x＜1时，s'（x）＞0，
∴x=

1

3

时，s（x）取极小值，也为最小值，且为

32

3

3

．
（方法二）利用函数的方法求最小值．
令3-x=t（2＜t＜3），则x=3-t，
s（x）=

4

3

•

t2

1-(3-t)2

=

4

3

•

1

- 8 t2 + 6 t -1

=

4

3

•

1

-8( 1 t - 3 8 )2+ 1 8

，
∵2＜t＜3，∴

1

3

＜

1

t

＜

1

2

，
∴当

1

t

=

3

8

即t=

8

3

，x=

1

3

时，s（x）取最小值，且为

32

3

3

．
故答案为：

32

3

3

．

点评：本题考查函数中的建模应用，以及函数的最值求法，通常可用求导的方法和换元法，注意新元的范围，结合配方法，运用二次函数的性质解决．