Question

【题目】（12分）

已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点.

（1）求抛物线C的标准方程以及的值.

（2）记抛物线的准线轴交于点H，试问是否存在常数，使得，且都成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）或.

【解析】试题分析：（1）由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，可求得的值，即可得抛物线的标准方程，从而可求得，再根据抛物线的定义即可求得的值；（2）设：，，，联立，根据韦达定理可得与的值，再根据，可得与的关系，再将化简，即可求得的值.

试题解析：(1)依题意得椭圆的焦点为，即，故，则，故抛物线的标准方程为，将代入，得，故.

(2)设，联立，得，所以，

又，且，则，即，代入式，得

，消去，得.

又，故 .

由，解得或（舍去），故或.

即存在满足条件，且的值为或.