Question

已知：x，y，z∈（0，1），求证：（1-x）y，（1-y）z，（1-z）x不可能都大于

1

4

．

Answer 1

分析：利用反证法，先对结论进行否定，再利用基本不等式，推出矛盾即可．

解答：证明：假设三个式子都大于

1

4

，
即（1-x）y＞

1

4

，（1-y）z＞

1

4

，（1-z）x＞

1

4

，
三个式子相乘得：
（1-x）y•（1-y）z•（1-z）x＞

1

43

      ①
∵0＜x＜1∴x（1-x）≤（

x+1-x

2

）²=

1

4

同理：y（1-y）≤

1

4

，z（1-z）≤

1

4

，
∴（1-x）y•（1-y）z•（1-z）x≤

1

43

  ②
显然①与②矛盾，所以假设是错误的，故原命题成立．

点评：本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键．