Question

已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：利用题中条件：“x+y+z=2”构造柯西不等式：(x+y+z)2≤[(

2

x)2+(

3

y)2+z2]•[(

1

2

)2+(

1

3

)2+12]这个条件进行计算即可．

解答：解：由柯西不等式可知：(x+y+z)2≤[(

2

x)2+(

3

y)2+z2]•[(

1

2

)2+(

1

3

)2+12]（5分）
故2x2+3y2+z2≥

24

11

，当且仅当

2 x

1 2

=

3 y

1 3

=

z

1

，
即：x=

6

11

，y=

4

11

，z=

12

11

2x²+3y²+z²取得最小值为

24

11

．（10分）

点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用(x+y+z)2≤[(

2

x)2+(

3

y)2+z2]•[(

1

2

)2+(

1

3

)2+12]解题．