Question

在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（　　）

• A、

  1

  5

• B、

  2

  5

• C、

  5

  5

• D、

  2 5

  5

Answer 1

分析：以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知条件分别求出向量

AP

和平面DEF的一个法向量，利用向量法能求出直线PA与平面DEF所成角的正弦值．

解答：解：以A为坐标原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，
AB=AC=1，PA=2，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），
D（

1

2

，0，0），E（

1

2

，

1

2

，0），F（0，

1

2

，1），
∴

AP

=（0，0，2），

DE

=（0，

1

2

，0），

DF

=(-

1

2

，

1

2

，1)，
设

n

=(x，y，z)是平面DEF的一个法向量，
则

n • DE =0 n • DF =0

，即

1 2 y=0 - 1 2 x+ 1 2 y+z=0

，
取x=1，则

n

=(1，0，

1

2

)，
设PA与平面DEF所成的角为θ，
则 sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=|

1

2× 1+ 1 4

|=

5

5

．
故选：C．

点评：本题是立体几何典型题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则简化了证明过程．