题目内容

将函数y=sin（x+ $数学公式$ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是

A.
y=cosx
B.
y=sin（2x+ $数学公式$ ）
C.
y=sin（ $数学公式$ x+ $数学公式$ ）
D.
y=sin（ $数学公式$ + $数学公式$ ）

D
分析：函数y=sin（x+ $\text{[math]}$ ）的图象上各点纵坐标不变，说明最大值仍然是1，故振幅不变；横坐标伸长到原来的2倍，说明周期变成原来的2倍，由三角函数的周期公式得后来函数的x的系数变成 $\text{[math]}$ ；再根据函数零点（- $\text{[math]}$ ，0）变成点（ $\text{[math]}$ ，0），可得初相为 $\text{[math]}$ 也不变，由此正确的选项．
解答：∵函数y=sin（x+ $\text{[math]}$ ）的图象横坐标伸长，而纵坐标不变
∴函数的振幅不变，仍为1，
由三角函数周期的公式，得到数y=sin（x+ $\text{[math]}$ ）的周期为T= $\text{[math]}$ =2π
∵将函数y=sin（x+ $\text{[math]}$ ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
∴横坐标伸长后，所得函数的周期为T₁=2π×2=4π
因此横坐标伸长后所得函数的x的系数变成 $\text{[math]}$ ，
∴可设变换的函数解析式为y=sin（ $\text{[math]}$ x+φ）
又∵变换前函数的零点（- $\text{[math]}$ ，0）变成点（ $\text{[math]}$ ，0），
∴变换后的初相φ= $\text{[math]}$
∴所得图象的函数解析式是y=sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
故选D
点评：本题借助于一个三角函数图象的变换为例，着重考查了三角函数的周期、振幅和初相等概念和有关公式，属于基础题．