Question

设不等式2（log

1

2

x）²+9（log

1

2

x）+9≤0的解集为M，求当x∈M时，函数f（x）=（log₂

x

2

）•（log₂

x

8

）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由2（log

1

2

x）²+9（log

1

2

x）+9≤0可知-3≤log

1

2

x≤-

3

2

，从而推导出

3

2

≤log₂x≤3，再由f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3（log₂x-2）²-1能够推导出函数f（x）=（log₂

x

2

）（log₂

x

8

）的最大值和最小值．

解答：解：∵2（log

1

2

x）²+9（log

1

2

x）+9≤0，
∴（2log

1

2

x+3）（log

1

2

x+3）≤0．
∴-3≤log

1

2

x≤-

3

2

．
即log

1

2

（

1

2

）^-3≤log

1

2

x≤log

1

2

（

1

2

）-

3

2

∴（

1

2

）-

3

2

≤x≤（

1

2

）^-3，即2

2

≤x≤8．
从而M=[2

2

，8]．
又f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．
∵2

2

≤x≤8，
∴

3

2

≤log₂x≤3．
∴当log₂x=2，即x=4时y_min=-1；
当log₂x=3，即x=8时，y_max=0．

点评：先解不等式求出解集为M，再利用对数函数的性质和二次函数的最值求函数f（x）=（log₂

x

2

）•（log₂

x

8

）的最大值和最小值．