Question

16．已知函数y=a^x-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m＞0，n＞0，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． 9
• D． 13

Answer 1

分析 根据指数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出m+n=1，然后利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解．

解答 解：∵函数y=a^x-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，
可得A（1，1），
∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，
∴m+n=1，∵m，n＞0，
∴m+n=1，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥9（当且仅当n=$\frac{2}{3}$，m=$\frac{1}{3}$时等号成立），
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为9．
故选：C．

点评 此题主要考查的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型．