题目内容

(1)求O点到面ABC的距离;
(2)求异面直线BE与AC所成的角;
(3)求二面角E-AB-C的大小.
分析:(1)取BC的中点D,连AD、OD,根据OB=OC,判断出OD⊥BC、AD⊥BC,进而可知BC⊥面OAD.过O点作OH⊥AD于H,则OH⊥面ABC,OH的长就是所求的距离.进而根据OA⊥OB,OA⊥OC判断出OA⊥面OBC,则OA⊥OD,利用勾股定理求得AD,进而在角三角形OAD中,利用OH=
求得OH.
(2)取OA的中点M,连EM、BM,则EM∥AC,?BEM是异面直线BE与AC所成的角,根据题意求得EM,BE和BM,进而利用余弦定理求得cos∠BEM,则异面直线BE与AC所成的角可求得.
(3)连CM并延长交AB于F,连OF、EF.由OC⊥面OAB,得OC⊥AB,又OH⊥面ABC,所以CF⊥AB,EF⊥AB,则?EFC就是所求的二面角的平面角.在Rt△OAB中,根据OF=
求得OF,进而在Rt△OEF中,利用勾股定理求得EF,进而求得sin∠EFG,则∠EFG可求.
OA•OD |
AD |
(2)取OA的中点M,连EM、BM,则EM∥AC,?BEM是异面直线BE与AC所成的角,根据题意求得EM,BE和BM,进而利用余弦定理求得cos∠BEM,则异面直线BE与AC所成的角可求得.
(3)连CM并延长交AB于F,连OF、EF.由OC⊥面OAB,得OC⊥AB,又OH⊥面ABC,所以CF⊥AB,EF⊥AB,则?EFC就是所求的二面角的平面角.在Rt△OAB中,根据OF=
OA•OB |
AB |
解答:解:(1)取BC的中点D,连AD、OD
因为OB=OC,则OD⊥BC、AD⊥BC,
∴BC⊥面OAD.
过O点作OH⊥AD于H,则OH⊥面ABC,OH的长就
是所求的距离.又BC=2
,OD=
=
,又OA⊥OB,OA⊥OC
∴OA⊥面OBC,则OA⊥OD
AD=
=
,在直角三角形OAD中,
有OH=
=
=
(2)取OA的中点M,连EM、BM,
则EM∥AC,?BEM是异面直线BE与AC
所成的角,易求得EM=
,BE=
,
BM=
.由余弦定理可求得cos?BEM=
,
∴∠BEM=arccos
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(3)连CH并延长交AB于F,连OF、EF.
由OC⊥面OAB,得OC⊥AB,又OH⊥面ABC,所以CF⊥AB,EF⊥AB,
则?EFC就是所求的二面角的平面角.
作EG⊥CF于G,则EG=
OH=
,在Rt△OAB中,OF=
=
在Rt△OEF中,EF=
=
=
∴sin∠EFG=
=
=
∴
∠EFG=arcsin
.
因为OB=OC,则OD⊥BC、AD⊥BC,
∴BC⊥面OAD.
过O点作OH⊥AD于H,则OH⊥面ABC,OH的长就
是所求的距离.又BC=2
2 |
OC2-CD2 |
=
2 |
∴OA⊥面OBC,则OA⊥OD
AD=
OA2+OD2 |
3 |
有OH=
OA•OD |
AD |
| ||
|
| ||
3 |
(2)取OA的中点M,连EM、BM,
则EM∥AC,?BEM是异面直线BE与AC
所成的角,易求得EM=
| ||
2 |
5 |
BM=
| ||
2 |
2 |
5 |
∴∠BEM=arccos
2 |
5 |
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(3)连CH并延长交AB于F,连OF、EF.
由OC⊥面OAB,得OC⊥AB,又OH⊥面ABC,所以CF⊥AB,EF⊥AB,
则?EFC就是所求的二面角的平面角.
作EG⊥CF于G,则EG=
1 |
2 |
| ||
6 |
OA•OB |
AB |
2 | ||
|
在Rt△OEF中,EF=
OE2+OF2 |
1+
|
3 | ||
|
∴sin∠EFG=
EG |
EF |
| ||||
|
| ||
18 |
∴
| ||
18 |
| ||
18 |
点评:本题主要考查了两面角的计算,点线面的距离计算.考查了学生综合分析问题的能力和解决问题的能力.
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OA |
a |
OB |
b |
OC |
c |
AG |
A、
| ||||||||||
B、-
| ||||||||||
C、
| ||||||||||
D、-
|