题目内容

当0＜x＜时,求证:tanx＞x+.

思路分析:可设出函数为f(x)=tanx-(x+),因为f(x)在(0,)内可导,从而通过考察f(x)的单调性来证明不等式.

解:设f(x)=tanx-(x+),则f′(x)=-1-x2=tan2x-x2=(tanx+x)(tanx-x).

∵x∈(0,),

∴tanx＞x＞0.

∴f′(x)＞0,即f(x)在(0,)内递增.

又f(0)=0,

∴当x∈(0,)时,f(x)＞0,即tanx＞x+.

练习册系列答案
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已知函数f(x)=ln(
1
2
+
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ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若x=
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是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[
1
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，+∞)上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 x0∈[
1
2
，1]，使不等式f（x0）＞m（1-a2）成立，求实数m的取值范围．
（2009•普宁市模拟）已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠
k
2
，k∈Z}且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-
1
f(x)
，当0＜x＜
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时，f（x）=3x．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在区间(2k+
1
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，2k+1)(k∈Z）上的解析式；
（3）是否存在正整数k，使得当x∈(2k+
1
2
，2k+1)时，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？证明你的结论．

当0＜x＜时，求证：tanx＞x＋．
(1)已知x＞1,求证不等式x＞ln(1+x);

(2)当0＜x＜时，求证tanx＞x+;

(3)当x＞0时，证明：不等式ex＞1+x+x2.

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