Question

（2009•普宁市模拟）已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠

k

2

，k∈Z}且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-

1

f(x)

，当0＜x＜

1

2

时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在区间(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）上的解析式；
（3）是否存在正整数k，使得当x∈(2k+

1

2

，2k+1)时，不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k有解？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由已知中f(x+1)=-

1

f(x)

，可得f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，进而结合f（x）+f（2-x）=0，可得f（x）+f（-x）=0，结合奇函数的定义，可得答案．
（2）由已知中当0＜x＜

1

2

时，f（x）=3^x．结合（1）中结论，可得f（x）在区间(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）上的解析式；
（3）由（2）的结论及指数的运算性质，我依次为可将不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k转化为二次不等式的形式，进而分析出对应函数在区间(2k+

1

2

，2k+1)上的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）由f(x+1)=-

1

f(x)

得f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函数．（5分）
（2）当x∈(

1

2

，1)时，1-x∈(0，

1

2

)，
∴f（1-x）=3^1-x．     （7分）
而f(1-x)=-

1

f(-x)

=

1

f(x)

，
∴f（x）=3^x-1．       （9分）
当x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）时，x-2k∈(

1

2

，1)，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                      （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k即为x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0．                          （13分）
令g（x）=x²-（k+1）x+1，对称轴为x=

k+1

2

＜2k+

1

2

，
因此函数g（x）在(2k+

1

2

，2k+1)上单调递增．         （15分）
因为g(2k+

1

2

)=(2k+

1

2

)2-(k+1)(2k+

1

2

)+1=(2k+

1

2

)(k-

1

2

)+1，又k为正整数，
所以g(2k+

1

2

)＞0，因此x²-（k+1）x+1＜0在(2k+

1

2

，2k+1)上恒成立，（17分）
因此不存在正整数k使不等式有解．                     （18分）

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，其中（1）的关键由已知条件得到f（x）+f（-x）=0，（2）的关键是由已知判断出f（x）=f（x-2k），（3）的关键是根据（2）的结论构造关于k的不等式．