Question

已知函数f(x)=ln(

1

2

+

1

2

ax)+x2-ax．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若x=

1

2

是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 x0∈[

1

2

，1]，使不等式f（x₀）＞m（1-a²）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数：f′(x)=

1 2 a

1 2 + 1 2 ax

+2x-a=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

，利用x=

1

2

是函数f（x）的一个极值点对应的结论f'（

1

2

）=0即可求a的值；
（Ⅱ）利用：f′(x)=

1 2 a

1 2 + 1 2 ax

+2x-a=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

，在0＜a≤2时，分析出因式中的每一项都大于等于0即可证明结论；

（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

2

，1]上的最大值为f(1)=ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a，把问题转化为对任意的a∈（1，2），不等式ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a+m(a2-1)＞0恒成立；然后再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求即可求实数m的取值范围．

解答：解：由题得：f′(x)=

1 2 a

1 2 + 1 2 ax

+2x-a=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

．
（Ⅰ）由已知，得f′(

1

2

)=0且

a2-2

2a

≠0，∴a²-a-2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分）
（Ⅱ）当0＜a≤2时，∵

a2-2

2a

-

1

2

=

a2-a-2

2a

=

(a-2)(a+1)

2a

≤0，∴

1

2

≥

a2-2

2a

，
∴当x≥

1

2

时，x-

a2-2

2a

≥0．又

2ax

1+ax

＞0，
∴f'（x）≥0，故f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函数．（5分）
（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

2

，1]上的最大值为f(1)=ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a，
于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a+m(a2-1)＞0恒成立．
记g(a)=ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a+m(a2-1)，（1＜a＜2）
则g′(a)=

1

1+a

-1+2ma=

a

1+a

[2ma-(1-2m)]，
当m=0时，g′(a)=

-a

1+a

＜0，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，
由于a²-1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴g′(a)=

2ma

1+a

[a-(

1

2m

-1)]．
若

1

2m

-1＞1，可知g（a）在区间(1，min{2，

1

2m

-1})上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故

1

2m

-1≤1，
这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，
∴

m＞0 1 2m -1≤1

，即m≥

1

4

，
所以，实数m的取值范围为[

1

4

，+∞)．（14分）

点评：本题第一问主要考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．