题目内容

已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．
（1）若|
OA
+
.
OC
|=
7
（O为坐标原点），求
.
OB
与
.
OC
的夹角；
（2）若
.
AC
⊥
.
BC
，求点C的坐标．
考点：单位圆与周期性,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）由已知得
x2+y2=1
(2+x)2+y2=7
，从而cos＜
OB
，
OC
＞=
OB
•
OC
|
OB
|•|
OC
|
=
2y
2
x2+y2
=y=±
3
2
，由此能求出
OB
与
OC
的夹角．
（2）
AC
=（x-2，y），
BC
=（x，y-2），由
AC
⊥
BC
得
x2+y2=1
x2+y2-2x-2y=0
，由此能求出点C的坐标．
解答：解：（1）
OA
=(2，0)，
OC
=(x，y)，
OB
=(0，2)．
且x2+y2=1，
OA
+
OC
=（2+x，y），
由|
OA
+
OC
|=
7
，得（2+x）2+y2=7，
由
x2+y2=1
(2+x)2+y2=7
，联立解得，x=
1
2
，y=±
3
2
．（2分）
cos＜
OB
，
OC
＞=
OB
•
OC
|
OB
|•|
OC
|
=
2y
2
x2+y2
=y=±
3
2
，（4分）
所以
OB
与
OC
的夹角为30°或150°．（6分）
（2）
AC
=（x-2，y），
BC
=（x，y-2），由
AC
⊥
BC
得，
AC
•
BC
=0，
由
x2+y2=1
x2+y2-2x-2y=0
，解得
x=
1-
7
4
y=
1+
7
4
或
x=
1+
7
4
y=
1-
7
4
，（10分）
所以点C的坐标为（
1-
7
4
，
1+
7
4
）或（
1+
7
4
，
1-
7
4
）．（12分）
点评：本题考查两向量的夹角的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
在程序框图中一般不含有条件判断框的结构是（　　）
A、顺序结构B、循环结构C、当型结构D、直到型结构
为研究某校高二年级学生学业水平考试情况，对该校高二年级1000名学生进行编号，号码为0001，0002，0003，…，1000，现从中抽取所有编号末位数字为9的学生的考试成绩进行分析，这种抽样方法是（　　）
A、抽签法B、随机数表法C、系统抽样法D、分层抽样法
如图，矩形OABC的阴影部分是由曲线f（x）=sinx，直线x=
2π
3
和x轴围成，则向矩形OABC内随机投掷一点，落在阴影部分的概率为（　　）
A、
1
12
B、
1
4
C、
2+
3
12
D、
2-
3
12
-75°化为弧度制的结果为
 
；
2512
π 化为角度制的结果为
 
．
函数f（x）=cosx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-1，f（b）=1，则sin
a+b
4
=（　　）
A、±
2
2
B、
2
2
C、±1
D、-
2
2
函数f（x）=2sin（
x
2
-
π
3
），x∈R的最小正周期为（　　）
A、
π
2
B、π
C、2π
D、4π
如图，四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形，△PQR是圆O的内接正三角形，当△PQR绕着圆心O旋转时，
AQ
•
OR
的取值范围是（　　）
A、[1-
2
，1+
2
]
B、[-1-
2
，-1+
2
]
C、[-
1
2
-
2
，-
1
2
+
2
]
D、[
1
2
-
2
，
1
2
+
2
]
如果关于x的不等式
ax-1
x+b
＞0的解集为（-1，3），则不等式
2ax+1
2x-b
＜0的解集是（　　）
A、（-∞，-
3
2
）∪（
1
2
，+∞）
B、（-
3
2
，
1
2
）
C、（-∞，-
1
2
）∪（
3
2
，+∞）
D、（-
1
2
，
3
2
]

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