Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{

Sn

n

}是首项与公差都为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+2 an，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得Sn=n2，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由b_n=a_n+2 an=2n-1+2^2n-1，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{

Sn

n

}是首项和公差都为1的等差数列，
∴

Sn

n

=1+（n-1）×1=n，∴Sn=n2，
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
n=1时上式成立，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，
∴b_n=a_n+2 an=2n-1+2^2n-1，
∴T_n=（1+2）+（3+2³）+…+（2n-1+2^2n-1）
=[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+2³+2⁵+…+2^2n-1）
=n²+

2(1-4n)

1-4

=n2+

22n+1

3

-

2

3

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．