Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)¹0，。

（1）求证：f(x)是偶函数；

（2）求证：f(x)为周期函数；

（3）若f(x)在[0，1]内是单调函数，求与的值。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）令x=y=0得2f(0)=2f2(0)，∴ f(0)f[(0)-1]=0。 ∵ f(0)¹0，∴ f(0)=1． ∴ f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)。∴ f(-y)=f(y)，∴ f(x)是偶函数。 （2）令，得，∴ f(x+1)=-f(x)． ∴ f(x+2)=-f(x+1)=f(x)， ∴ f(x)为T=2的周期函数。 （3）令，得∴ 。 ∵ f(x)在[0，1]上为单调增函数，∴ ，∴ ， ∴ 。令x=y得f(2x)+f(0)=2[f(x)]2，∴ f(2x)=2[f(x)]2-1。令，得，∴ ，∵ ，∴ 。